Số dư luôn nhỏ hơn số chia, do đó trong phép chia bất kì số dư lớn nhất có thể có là số liền trước của số chia.
Đồng Dư và Nhóm Cộng của Z/mZ
Trong lý thuyết nhóm, tập hợp các lớp đồng dư của các số nguyên theo modulo \( m \) tạo thành một nhóm cộng, được ký hiệu là \( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \). Mỗi phần tử trong nhóm này là một lớp đồng dư:
\( [a] = \{ a + km | k \in \mathbb{Z} \} \)
Với phép cộng xác định như sau:
Số dư trong lý thuyết số còn có ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực mật mã học, chẳng hạn như trong hệ mã RSA. Các phép toán modulo lớn được sử dụng để mã hóa và giải mã thông tin, đảm bảo tính bảo mật của dữ liệu truyền tải.
Trong phân tích số, số dư giúp giải quyết nhiều bài toán như tìm ước số chung lớn nhất (GCD) thông qua thuật toán Euclid, kiểm tra tính nguyên tố của một số, và phân tích các tính chất chia hết của số nguyên.
Như vậy, số dư không chỉ đơn thuần là kết quả của một phép chia, mà còn là một công cụ mạnh mẽ trong lý thuyết số, giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học và thực tiễn.
